분석의 역사
그리스인들은 지속적인 규모에 직면
분석은 지속적인 변화가 중요한 수학 부분으로 구성됩니다. 여기에는 운동 연구와 부드러운 곡선과 표면의 형상, 특히 접선, 면적 및 부피 계산이 포함됩니다. 고대 그리스의 수학자들은 분석 이론과 실천에서 큰 발전을 이루었습니다. 피타고라스의 비합리적 크기 발견에 의해 약 500 bce, 제노의 운동 역설에 의해 약 450 bce가 이론에 강요되었다.
피타고라스와 비이성적 인 숫자
처음에 피타고라스 사람들은 모든 것이 이산 자연수 (1, 2, 3,
) 및 해당 비율 (일반 분수 또는 유리수)입니다. 그러나, 단위 정사각형 (즉, 변의 길이가 1 인 정사각형)의 대각선을 합리적인 숫자로 표현할 수 없다는 사실을 발견함으로써 이러한 믿음이 흔들렸다. 이 발견은 그들 자신의 피타고라스의 정리에 의해 이루어 졌는데,이 삼각형의 직각 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다-현대 표기법에서 c 2 = a 2 + b 2. 단위 사각형에서 대각선은 변이 a = b = 1 인 직각 삼각형의 빗변입니다. 그러므로 그 측정 값은 제곱근의 √2 – 비이성적 인 숫자입니다. 피타고라스 사람들은 자신의 의도에 반해, 단순한 기하학적 물체조차도 합리적인 숫자가 충분하지 않다는 것을 보여주었습니다. (사이드 바: 비교할 수없는 것들을 보라.) 그들의 반응은 유클리드 요소의 제 2 권 (c. 300 bce)에서 볼 수 있듯이 합리적인 수의 기하학적 해석을 포함하는 선분의 산술을 만드는 것이었다. 그리스인의 경우 선분은 숫자보다 연속적이었습니다.
실제로, 제곱근 √2는 무한 과정을 통해서만 유리수와 관련 될 수 있습니다. 이것은 유리수와 선분의 산술을 연구 한 Euclid에 의해 실현되었습니다. 그의 유명한 유클리드 알고리즘은 한 쌍의 자연수에 적용될 때 유한 한 수의 단계를 거쳐 최대 공약수로 이어집니다. 그러나, 제곱근 √2 및 1과 같이 비이성적 인 비율로 한 쌍의 선분에 적용하면 종료되지 않습니다. 유클리드는이 비 종결 속성을 불합리성의 기준으로 사용하기까지했습니다. 따라서 비이성 성은 그리스가 무한한 과정을 다루도록 강요함으로써 그리스 수 개념에 도전했다.
제노의 역설과 운동의 개념
√2의 제곱근이 그리스인의 수 개념에 대한 도전 인 것처럼 Zeno의 역설은 운동 개념에 대한 도전이었습니다. 그의 물리학 (기원전 350 년경)에서 아리스토텔레스는 Zeno를 다음과 같이 인용했습니다.
움직 인 것은 끝이 도착하기 전에 코스의 중간에 도착해야하기 때문에 동작이 없습니다.
Zeno의 주장은 아리스토텔레스 (Aristotle)를 통해서만 알려져 있습니다. 아마도 Zeno는 어느 곳으로나 가려면 먼저 반쯤 가고 길의 4 분의 1이되기 전에 그리고 그 길의 1/8이되기 전에 가야한다는 것을 의미했습니다. 거리를 반으로 줄이는이 과정은 무한대로 진행될 것이기 때문에 (그리스인들은 가능한 한 받아들이지 않을 개념), Zeno는 현실이 변하지 않는 존재로 구성되어 있음을“증명”한다고 주장했습니다. 그럼에도 불구하고, 그들의 무한한 혐오에도 불구하고 그리스인들은 그 개념이 연속적인 크기의 수학에 없어서는 안될 것을 발견했다. 그래서 그들은 비율 이론과 소진 방법을 사용하는 논리적 틀에서 가능한 한 무한하게 무한에 대해 추론했습니다.
비율 이론은 약 350 bce의 Eudoxus에 의해 만들어졌으며 Euclid 's Elements의 Book V에 보존되었습니다. 합리적 크기와 그보다 작은 합리적 크기가 같으면 두 크기를 동일하게 정의하여 합리적 크기와 임의의 크기 사이의 정확한 관계를 설정했습니다. 다시 말해, 두 크기 사이에 합리적 크기가있는 경우에만 두 가지 크기가 달랐습니다. 이 정의는 2 천년 동안 수학자들에게 도움을 주며 19 세기 분석의 산술을위한 길을 열었습니다.이 수에서 임의의 숫자는 합리적인 숫자로 엄격하게 정의되었습니다. 비율 이론은 한계 개념에 대한 최초의 엄격한 처리였으며, 이는 현대 분석의 핵심 인 아이디어입니다. 현대 용어에서 Eudoxus의 이론은 임의의 크기를 합리적인 크기의 한계로 정의했으며, 합계, 차이 및 크기의 곱에 대한 기본 정리는 합계, 차이 및 한계의 곱에 대한 정리와 동일했습니다.
