Sturm-Liouville 문제 수학

수학에서 Sturm-Liouville 문제 또는 고유 값 문제 는 솔루션에 대한 경계 값이라고하는 추가 제약 조건이 적용되는 특정 종류의 부분 차등 방정식 (PDE)입니다. 이러한 방정식은 고전 물리학 (예: 열전도)과 양자 역학 (예: 슈뢰딩거 방정식)에서 공통적이며, 일부 외부 값 (경계 값)이 일정하게 유지되는 반면 관심 시스템이 어떤 형태의 에너지를 전달하는 프로세스를 설명합니다.

1830 년대 중반 프랑스의 수학자 인 Charles-François Sturm과 Joseph Liouville은 독립적으로 금속 막대를 통한 열전도 문제에 대해 독립적으로 작업했습니다.이 과정에서 가장 간단한 형태의 PDE를 해결하기위한 기술 개발 과정에서 [p] (x) y ']'+ [q (x) − λr (x)] y = 0 여기서 y는 물리량 (또는 양자 역학적 파동 함수)이고 λ는 방정식을 제한하는 매개 변수 또는 고유 값입니다. y는 변수 x가 범위가되는 구간의 종점에서 경계 값을 만족시킨다. 함수 p, q 및 r이 적절한 조건을 만족하는 경우 방정식에는 고유 값 솔루션에 해당하는 고유 함수라고하는 일련의 솔루션이 있습니다.

위 방정식의 오른쪽이 함수가 아닌 함수 f (x) 인 더 복잡한 비균질 경우, 해당 동종 방정식의 고유 값을 원래 방정식의 고유 값과 비교할 수 있습니다. 이러한 값이 다르면 문제에 고유 한 솔루션이 있습니다. 반면에 이러한 고유 값 중 하나가 일치하면 함수 f (x)의 속성에 따라 문제가 해결되지 않거나 전체 해가 될 수 있습니다.