공식적인 논리

시맨틱 테이블

1980 년대 이후 PC 나 LPC에서 논증의 타당성을 결정하는 또 다른 기술은 학습의 용이성과 컴퓨터 프로그램에 의한 직접적인 구현으로 인해 어느 정도 인기를 얻었습니다. 네덜란드의 논리학자인 Evert W. Beth가 처음 제안한 것은 미국의 수학자이자 논리학자인 Raymond M. Smullyan에 의해보다 완전하게 개발되고 공개되었습니다. 결론이 거짓 인 동안 유효한 논거의 전제가 참이라는 것이 불가능하다는 관찰에 근거하여,이 방법은 전제를 동시에 만족하고 부정하는 방식으로 전제를 해석 (또는 평가)하려고 시도한다. 결론도 만족합니다. 그러한 노력으로 성공하면 논증이 유효하지 않다는 것을 알 수 있지만 그러한 해석을 찾지 못하면 그것이 유효하다는 것을 알 수 있습니다.

의미 론적 tableau의 구성은 다음과 같이 진행된다: 명제 결합으로서 부정 (~)과 분리 (∨)만을 사용하여 PC에서 논증의 결론에 대한 전제와 부정을 표현한다. 순서대로 두 개의 부정 기호가 나타날 때마다 제거하십시오 (예: ∼∼∼∼a는 ∼a가됩니다). 이제 아래쪽으로 분기 된 트리 다이어그램을 구성하여 각 분리가 왼쪽 분리 및 오른쪽을위한 두 개의 분기로 대체됩니다. 두 가지가 모두 참이면 원래의 분리가 참입니다. De Morgan의 법칙에 따르면 양측의 부정이 참일 경우에만 (즉, ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)) 단절의 부정이 사실임을 알 수 있습니다. 이러한 의미 론적 관찰은 분리의 부정이 각 분리의 부정을 포함하는 하나의 브랜치가된다는 규칙으로 이어진다

다음과 같은 주장을 고려하십시오.

쓰다:

이제 분리를 해제하고 두 가지를 형성하십시오.

최소한 하나의 지점에있는 모든 문장이 참인 경우에만 원래 구내가 참이고 결론이 거짓 일 수 있습니다 (결론의 부정에 대해서도). 각 분기에서 선을 위쪽으로 트리 위쪽으로 추적하면 왼쪽 분기에서 a를 평가해도 해당 분기의 모든 문장이 true 값을 얻지 않음을 알 수 있습니다 (및 a ~ a의 존재로 인해). 마찬가지로 오른쪽 분기에서 b와 ~ b의 존재는 평가로 인해 분기의 모든 문장이 true 값을받는 것을 불가능하게합니다. 이것들은 가능한 모든 가지입니다. 따라서 구내가 사실이고 결론이 거짓 인 상황을 찾는 것은 불가능합니다. 따라서 원래의 주장이 유효합니다.

이 기술은 다른 연결을 다루기 위해 확장 될 수 있습니다.

또한 LPC에서는 정량화 된 wff를 인스턴스화하기위한 규칙을 도입해야합니다. 분명히, (∀x) ϕx와 ∼ϕy를 모두 포함하는 모든 분기는 해당 분기의 모든 문장을 동시에 만족할 수있는 것은 아닙니다 (ω- 일관성 가정, 메타 로직 참조). 다시, 모든 가지가 동시에 만족할 수 없다면, 원래의 주장이 유효합니다.

LPC의 특수 시스템

상술 한 바와 같은 LPC는 다양한 방식으로 wff의 범위를 제한하거나 확장함으로써 수정 될 수있다:

• 1. LPC의 일부 시스템. 제한에 의해 생성 된 더 중요한 시스템 중 일부는 다음과 같습니다.

  • a. 모든 술어 변수는 모나드 여야하지만 무한한 수의 개별 변수와 술어 변수를 허용 할 수 있습니다. 그러면 원자 wff는 단순히 술어 변수와 단일 개별 변수로 구성된 것입니다. 그렇지 않으면 형성 규칙은 이전과 동일하게 유지되며 유효성 정의는 이전과 동일하지만 명백한 방식으로 단순화됩니다. 이 시스템을 모나 딕 LPC라고합니다. 속성의 논리를 제공하지만 관계는 제공하지 않습니다. 이 시스템의 중요한 특징 중 하나는 결정 가능하다는 것입니다. (단일 이진 술어 변수의 도입은 시스템을 결정할 수 없게 만들며, 실제로 단일 이진 술어 변수 만 포함하고 다른 술어 변수가 전혀없는 시스템도 결정 불가능한 것으로 나타났습니다.)

  • b (1) 모든 술어 변수가 모나 딕이어야하고 (2) 단일 개별 변수 (예: x) 만 사용해야하며 (3)이 변수의 모든 발생이 구속되어야하고 (3) 4) 다른 범위 내에서 정량자가 발생하지 않는다. 이 시스템의 wff의 예로는 (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] ("ϕ는 무엇이든지 ψ와 χ"); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“ϕ이지만 ψ가 아닌 것”); 그리고 (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“ϕ가 무엇이든지 ψ라면, 무언가는 ϕ와 ψ이다”). 이 시스템의 표기법은 모든 곳에서 x를 생략하고 "뭔가는 ϕ", ∃ϕ (writing ⊃ ψ)에 writing를 쓰면 간단합니다. 이 시스템은 모나 딕 LPC (이것이 프래그먼트 임)보다 더 초보적이지만, 광범위한 추론의 형태가 그 안에 표현 될 수 있습니다. 그것은 또한 결정 가능한 시스템이며, 기초적인 종류의 결정 절차가 주어질 수 있습니다.

• LPC의 2.Extensions. 다양한 유형의 제안을 표현할 수있는보다 정교한 시스템이 LPC에 다양한 유형의 새로운 심볼을 추가하여 구성되었습니다. 이러한 추가 중 가장 간단한 것은 다음과 같습니다.

  • a. 하나 이상의 개별 상수 (예: a, b,

    ):이 상수는 특정 개인의 이름으로 해석됩니다. 공식적으로 그것들은 수량 자 내에서 발생할 수 없다는 사실에 의해 개별 변수와 구별됩니다. 예를 들어, (∀x)는 수량 자이지만 (∀a)는 아닙니다.

  • b. 하나 이상의 술어 상수 (예: A, B,

    )는 특정 속성 또는 관계를 지정하는 것으로 생각되는 특정 정도의 각 수준입니다.

좀 더 자세한 설명을 요구하는 추가 가능한 추가 기능은 기능을 나타 내기 위해 설계된 기호로 구성됩니다. 기능의 개념은 다음과 같이 본 목적을 위해 충분히 설명 될 수있다. 모든 인수가 지정 될 때마다 고유 한 객체 (함수의 값이라고 함)를 지정하는 규칙이있을 때 n 개의 인수 (또는 n도)의 특정 함수가 있다고합니다. 예를 들어, 인간의 영역에서,“의 어머니”는 모나 딕 기능 (하나의 주장의 기능)입니다. 왜냐하면 모든 인간에게는 그의 어머니 인 독특한 개인이 있기 때문입니다. 자연수의 영역에서 (즉, 0, 1, 2,

),“—와 –의 합”은 두 인수의 함수입니다. 모든 자연수 쌍에는 자연수가 합산되기 때문입니다. 함수 심볼은 다른 이름 (인수)으로 이름을 형성하는 것으로 생각할 수 있습니다. 따라서 x와 y의 이름이 숫자가 될 때마다“x와 y의 합”도 숫자를 명명하며 다른 종류의 함수와 인수에도 유사하게 적용됩니다.

LPC로 함수를 표현할 수 있도록 다음이 추가 될 수 있습니다.

• c. 하나 이상의 함수 변수 (예: f, g,

  ) 또는 하나 이상의 함수 상수 (예: F, G,

  ) 또는 둘 다 (각각 지정된 정도). 전자는 지정된 학위의 기능에 대한 범위로, 후자는 해당 학위의 특정 기능을 지정하는 것으로 해석됩니다.

a-c 중 일부 또는 전부가 LPC에 추가되면, 하위 기호 미적분 (위의 하위 조건 미적분 참조) 섹션의 첫 번째 단락에 나열된 구성 규칙을 수정하여 새 기호를 통합 할 수 있도록해야합니다. wffs. 용어는 먼저 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. 용어는 (1) 개별 변수 또는 (2) 개별 상수 또는 (3) n의 함수 변수 또는 함수 상수를 임의의 n 개의 용어 앞에 접두사로 형성 한 표현 (함수 심볼의 인수 인 이러한 용어는 일반적으로 쉼표로 구분되고 괄호로 묶습니다. 그런 다음 형성 규칙 1이 다음으로 대체됩니다.

• 1 '. 술어 변수 또는 n 차 뒤에 n 항이 오는 술어 상수로 구성된 표현식은 wff입니다.

LPC의 axiomatization에 대한 섹션에서 주어진 axiomatic 기준 (위 LPC의 axiomatization 참조)은 다음과 같은 수정이 필요합니다. axiom schema 2에서 β가 형성 될 때 어떤 변수도 자유로이 변하는 변수가 없다면 항은 β에 묶이게됩니다. 다음의 예는 LPC에 앞서 언급 된 추가의 사용을 설명 할 것이다: 개별 변수의 값을 자연수로하자. 개별 상수 a와 b가 각각 숫자 2와 3을 나타내도록하고; A는 "프라임"을 의미하자. F가 이차 함수“합계”를 나타내도록하자. 그런 다음 AF (a, b)는“2와 3의 합이 소수”라는 명제를 표현하고, (∃x) AF (x, a)는“제안과 2의 합이 소수와 같은 수를 갖습니다”라는 명제를 표현합니다 ”

상수의 도입은 일반적으로 객체, 속성, 관계 또는 함수가 보유하는 원리를 표현하도록 설계된 상수를 포함하는 특수 공리의 공리 기반에 추가됩니다., 관계 또는 기능. 예를 들어, 상수 A를 사용하여 2 차원 관계를 "보다 큼"(Axy가 "x가 y보다 큼"등을 의미 함)을 나타내는 것으로 결정될 수있다. 이 관계는 다른 많은 사람들과 달리 전 이적입니다. 즉, 하나의 객체가 1 초보다 크고 2 초가 3 분의 1보다 큰 경우, 1 차가 3보다 크다. 따라서 다음 특수 공리 스키마가 추가 될 수 있습니다. t ₁, t ₂ 및 t ₃ 이 임의의 용어이면 (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) t ₁ t ₃ 은 공리입니다. 이러한 수단에 의해 시스템은 다양한 특정 분야의 논리적 구조를 표현하도록 구성 될 수있다. 이러한 종류의 대부분의 작업이 수행 된 영역은 자연수 산술 영역입니다.

PC와 LPC는 때때로 단일 시스템으로 결합됩니다. 이것은 가장 간단하게 제안 변수를 LPC 프리미티브 목록에 추가하고, 제안 변수가 단독으로 wff라는 효과에 형성 규칙을 추가하고 공리 스키마 1에서“LPC”를 삭제함으로써 가장 간단하게 수행 될 수 있습니다. (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx 및 (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 신원을 가진 3.LPC. "is"라는 단어가 항상 같은 방식으로 사용되는 것은 아닙니다. (1)“소크라테스가 코가 막혔다”와 같은 명제에서“is”앞의 표현은 개인을 명명하고 그에 따른 표현은 그 개인에게 귀속되는 재산을 나타냅니다. 그러나 (2)“소크라테스는 독사를 마신 아테네의 철학자”와 같은 제안에서“개인”앞뒤에 나오는 표현은 모두 이름 개인이며, 전체 제안의 의미는 첫 번째 이름으로 명명 된 개인은 두 번째로 지명 된 개인과 동일한 개인. 따라서 2에서 "is"는 "와 동일한 개인"으로 확장 될 수 있지만 1에서는 확장 할 수 없습니다. 2에서 사용 된“is”는 제안이 두 개인 사이를 유지한다고 주장하는 2 차원 관계, 즉 정체성입니다. 이러한 맥락에서 신원 제안은이 이상을 주장하는 것으로 이해되어야한다. 특히, 두 개의 명명식이 동일한 의미를 갖는다 고 주장하는 것으로 간주되어서는 안된다. 이 마지막 요점을 설명하기 위해 많이 논의 된 예는“아침 별은 저녁 별입니다.”입니다. “아침 별”과“저녁 별”이라는 표현은 같은 의미이지만, 전자가 언급 한 대상은 후자 (행성 금성)가 언급 한 것과 동일하다는 것은 사실입니다.

동일성 제안의 형태가 표현 될 수 있도록, 이항 술어 상수가 LPC에 추가되며, 가장 일반적인 표기법은 = (이전의 인수가 아닌 인수 사이에 작성 됨)입니다. x = y의 의도 된 해석은 x는 y와 동일한 개인이며 가장 편리한 판독 값은 "x는 y와 동일합니다"입니다. 부정 ∼ (x = y)는 일반적으로 x ≠ y로 축약됩니다. 앞에서 주어진 LPC 모델의 정의 (위 LPC의 유효성 참조)에 동일한 구성원 인 경우 x = y의 값이 1이라는 규칙이 추가되었습니다 (의도 한 해석과 명백한 방식으로 일치 함). D는 x와 y에 할당되며 그렇지 않으면 그 값은 0이됩니다. 그런 다음 유효성을 이전과 같이 정의 할 수 있습니다. LPC에 대한 공리 기반에 다음과 같은 추가 (또는 일부 동등한 것)가 수행됩니다. axiom x = x 및 a와 b가 개별 변수이고 α와 β가 wffs 인 axiom 스키마 α가 a의 자유 발생을 갖는 하나 이상의 장소, β가 b의 자유 발생을 갖는, (a = b) ⊃ (α ⊃ β)는 공리이다. 이러한 시스템은 하위 조건 미적분과 동일성이라고합니다. 물론 "LPC의 확장"에 언급 된 다른 방식으로 더 확장 될 수 있으며,이 경우 임의의 용어는 =의 인수 일 수있다.

정체성은 동등성 관계입니다. 즉, 그것은 반사적이고 대칭 적이며 전 이적이다. 그것의 반사율은 공리 x = x로 직접 표현되며, 그것의 대칭과 전이성을 표현하는 정리는 주어진 기초로부터 쉽게 도출 될 수있다.

정체성이있는 LPC의 특정 wff는 주어진 속성을 가진 것들의 수에 대한 제안을 표현합니다. 물론,“적어도 하나는 ϕ이다”는 이미 (∃x) ϕx로 표현 될 수있다. “적어도 두 가지 (비 동일) 것은 ϕ이다”는 이제 (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y)로 표현할 수 있습니다. 순서는 분명한 방식으로 계속 될 수 있습니다. “대부분의 것이 ϕ이다”(즉,“두 가지 별개의 것이 ϕ이다”는 아님)는 마지막 언급 된 wff의 부정 또는 이와 동등한 것으로 표현 될 수있다. (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y]이며 시퀀스를 다시 쉽게 계속할 수 있습니다. “적어도 한 가지가 ϕ”인 공식은“적어도 한 가지가 ϕ 인”과“대부분의 한 가지가 ϕ 인”의 공식을 결합하여 얻을 수 있지만이 연결에 해당하는 더 간단한 wff는 (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)]: "ϕ가 있고 is가있는 것이 그 것입니다." “정확히 두 가지가 ϕ이다”라는 명제는 (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; 즉,“각각 ϕ 인 두 가지 비 일치적인 것이 있으며 ϕ 인 것은 둘 중 하나입니다.” 분명히,이 순서는 모든 자연수 n에 대해“정확하게 n 개의 것이 ϕ”에 대한 공식을 제공하도록 확장 될 수 있습니다. "정확하게 한 가지가 ϕ"인 wff를 (∃! x) ϕx로 축약하는 것이 편리합니다. 이 특수 수량자는 종종 "E-Shriek x"로 큰 소리로 읽습니다.

명확한 설명

특정 속성 ϕ이 하나의 객체에만 속하는 경우 해당 객체의 이름을 지정하는 표현식을 사용하는 것이 편리합니다. 이 목적을위한 일반적인 표기법은 (ιx) ϕx로,“ϕ”으로 읽히거나“ϕ”로 더 짧게 읽을 수 있습니다. 일반적으로 a가 개별 변수이고 α가 wff 인 경우 (α) α는 α를 참으로 만드는 a의 단일 값을 나타냅니다. “소소한”형태의 표현을 명확한 설명이라고합니다. 설명 연산자로 알려진 (ιx)는 제안 형식에서 개인의 이름을 형성하는 것으로 생각할 수 있습니다. (ιx)는 wff α에 접두사가있을 때 α에서 x의 모든 자유 발생에 바인딩한다는 점에서 수량 화기와 유사합니다. 바인딩 된 변수를 다시 설정하는 것도 허용됩니다. 가장 간단한 경우에, (ιx) ϕx 및 (ιy) ϕy는 각각 단순히 "the"로 읽을 수 있습니다.

형성 규칙에 관한 한, (α) α의 표현을 용어로 간주하여 명확한 설명을 LPC에 통합 할 수있다. 위의 규칙 1 ',“LPC의 확장”에서 원자 공식 (정체 공식 포함)으로 나타날 수 있습니다. "ϕ는 (즉, 특성을 가짐) ψ"는 ψ (ιx) ϕx로 표현 될 수 있으며; "y는 (=와 동일한 개인)"이고, y = (ιx) ϕx이고; "The는 (ι)와 같은 개인이다"; (ψ) ϕx = (ι) ψy; 기타 등등.

명확한 설명을 포함하는 명제에 대한 올바른 분석은 상당한 철학적 논란의 주제였습니다. 그러나 Principia Mathematica에서 제시되고 Russell의 설명 이론으로 알려진 널리 알려진 하나의 설명에서“The는 ψ”는 정확히 한 가지가 ϕ이고 그 또한 ψ라는 의미로 이해되어야한다고 주장한다. 이 경우 설명 연산자가없는 (즉, (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]) 인 LPC-with-identity의 wff로 표현할 수 있습니다. 유사하게, "y is the ϕ"은 "y is ϕ이고 다른 것은 ϕ"으로 분석되므로 (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y)로 표현할 수 있습니다. "The는 ψ이다"는 "정확히 하나는 ϕ, 정확히 하나는 ψ, 그리고 ϕ는 ψ는 ψ"로 분석되므로 (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx 및 (ιx) ϕx = (ιy) ψy는 각각 (1), (2) 및 (3)에 대한 약어로 간주 될 수 있으며; 보다 복잡한 경우를 일반화하여 설명 연산자를 포함하는 모든 wff를 더 긴 wff의 약어로 간주 할 수 있습니다.

"ϕ는 ψ"에 대한 공식으로 (1)을 초래하는 분석은 "The는 ψ가 아님"에 대해 다음을 초래합니다. (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. (4)는 (1)의 부정이 아니라는 점에 유의해야합니다. 이 부정은 대신에 (5) ~ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]입니다. (4)와 (5) 사이의 의미의 차이는 (4)가 one 인 것이 정확히 하나만 있고 ψ가 아닌 경우에만 사실이지만, (5)는이 경우에 모두 사실이라는 사실에 있습니다. 또한 nothing이 전혀없고 둘 이상의 것이 ϕ 인 경우에도. (4)와 (5)의 구별을 무시하면 생각이 심각하게 혼란 스러울 수 있습니다. 보통의 말에서, ϕ가 ψ임을 부인하는 사람이 정확히 한 가지가 that임을 인정하지만 그것이 ψ임을 부정하거나 정확히 한 가지가 that임을 부정하는지 여부는 불분명합니다.

Russell의 설명 이론의 기본 주장은 명확한 설명을 포함하는 제안이 해당 설명이 이름 인 대상에 대한 주장으로 간주되는 것이 아니라 특정 (복잡한) 속성이 존재한다는 본질적으로 정량화 된 주장으로 간주되어야한다는 것입니다. 인스턴스. 공식적으로 이것은 위에서 설명한 설명 연산자를 제거하기위한 규칙에 반영됩니다.