카테고리 이론
수학의 추상화
최근 수학 개발의 경향은 점진적인 추상화 과정이었습니다. 노르웨이의 수학자 인 Niels Henrik Abel (1802 ~ 29)은 일반적으로 5 급 방정식이 근본적으로 풀 수 없다는 것을 증명했습니다. Abel의 연구에 의해 부분적으로 동기를 부여받은 프랑스의 수학자 Évariste Galois (1811-32)는 다항식을 풀 수있는 조건을 결정하기 위해 특정 그룹의 순열을 도입했습니다. 이 콘크리트 그룹은 곧 추상 그룹을 만들어 냈으며, 이는 공리적으로 설명되었습니다. 그런 다음 그룹을 연구하려면 다른 그룹 간의 관계, 특히 그룹 작업을 유지하면서 한 그룹을 다른 그룹으로 매핑하는 동질성 (homomorphism)을 살펴볼 필요가 있음을 깨달았습니다. 그래서 사람들은 이제 구체적인 범주의 그룹이라고 불리는 것을 연구하기 시작했습니다. 구체적인 범주가 추상적 범주로 대체되기까지 오랜 시간이 걸리지 않았습니다.
카테고리의 중요한 개념은 2 차 세계 대전 말에 Samuel Eilenberg와 Saunders Mac Lane에 의해 소개되었습니다. 이러한 현대 범주는 현재 상황에서 유형이라고하는 Aristotle 범주와 구별되어야합니다. 범주에는 개체뿐만 아니라 개체 간 화살표 (모피 즘, 변형 또는 매핑이라고도 함)도 있습니다.
많은 범주에는이 구조를 유지하는 일부 구조와 화살표가있는 개체 집합이 있습니다. 따라서, (빈 구조를 갖는) 세트 및 매핑, 그룹 및 그룹 동형, 링 및 링 동형, 벡터 공간 및 선형 변환, 토폴로지 공간 및 연속 매핑 등의 범주가 존재한다. 객체와 화살표 사이의 관계를 유지하는 카테고리 간의 형태가 호출됨에 따라 (더 작은) 카테고리와 펑터의 카테고리가 여전히 더 추상적 인 수준으로 존재합니다.
모든 범주를이 구체적인 방식으로 볼 수있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 연역 시스템의 공식은 화살표 f: A → B가 A에서 B를 공제 한 범주의 객체로 볼 수 있습니다. 실제로이 관점은 공식을 생각하는 이론적 인 컴퓨터 과학에서 중요합니다. 운영 유형과 공제로.
보다 공식적으로 범주는 (1) 개체 A, B, C,의 집합으로 구성됩니다…, (2) 모음의 각 정렬 된 객체 쌍에 대해 ID I A ∶ A → A를 포함하는 관련 변환 모음 및 (3) 카테고리에서 각 정렬 된 3 개의 객체에 대한 관련 구성 법칙 f ∶ A → B 및 g ∶ B → C 구성 gf (또는 g ○ f)는 A에서 C 로의 변환입니다. 즉, gf ∶ A → C입니다. 또한, 관련 법칙과 신원을 유지해야합니다. 상기 조성물) - 즉, H (GF) = (HG) F 1 정의 B = F = F1 F 를.
어떤 의미에서는 추상 범주의 객체에는 라이프니츠의 모나드와 같은 창이 없습니다. 객체 A의 내부를 추론하려면 다른 객체에서 A까지의 모든 화살표 만 살펴 봐야합니다. 예를 들어, 세트 범주에서 세트 A의 요소는 일반적인 한 요소 세트의 화살표로 A로 표시 될 수 있습니다. 유사하게, 작은 카테고리의 카테고리에서, 1 이 하나의 객체를 갖고 비 동일 화살표가없는 카테고리 인 경우, 카테고리 A 의 객체 는 펑터 1 → A 로 식별 될 수있다. 또한, 2 가 2 개의 객체 및 하나의 비 식별 화살표를 갖는 카테고리 인 경우, A 의 화살표 는 펑터 (2) → A 로 식별 될 수있다.
동형 구조물
화살표 f ∶ A → B는 화살표 g ∶ B → A가 f에 반대 인 경우, 즉 g ○ f = 1 A 및 f ○ g = 1 B 인 경우 동 형사상이라고합니다. 이것을 A≅B라고하며 A와 B를 동형이라고합니다. 즉, 본질적으로 동일한 구조를 가지고 있으며 서로 구별 할 필요가 없습니다. 수학적 실체가 범주의 대상인 것처럼, 동형까지만 주어진다. 일관성을 보여주는 데 유용한 목적을 제공하는 것 외에도 전통적인 이론적 구성은 실제로 관련이 없습니다.
예를 들어, 정수 고리의 일반적인 구성에서 정수는 자연수의 쌍 (m, n)의 등가 클래스로 정의되며, 여기서 (m, n)은 (m ', n')과 같습니다. m + n '= m'+ n 인 경우에만. 아이디어는 (m, n)의 등가 클래스를 m-n으로 보는 것입니다. 그러나 분류 자에게 중요한 것은 정수의 고리 rings가 고리와 동형화 범주의 초기 객체라는 것입니다. 즉, 모든 고리 ℝ마다 고유 한 동형 ℤ → ℝ이 있습니다. 이런 식으로 볼 때, ℤ는 동형까지만 주어집니다. 같은 정신으로, ℤ가 합리적인 수의 ℚ 필드에 포함되어 있지 않고 동질성 ℤ → ℚ만이 일대일이라고 말해야합니다. 마찬가지로, 집합 집합 집합 (ad infinitum)으로 표현 된 경우, 집합 집합 π와 제곱근 √-1의 집합 이론적 교차점을 말하는 것은 의미가 없습니다.
기초 및 다른 곳에 특별한 관심이있는 것은 인접한 펑터 (F, G)입니다. 이들은 두 범주 ?과 between 사이의 펑터 쌍이며, 반대 방향으로 이동하여 화살표 F (A) → B의 ℬ 세트와 화살표 A → G (B) 사이에 일대일 대응이 존재합니다.)에서, 즉 세트가 동형이되도록한다.
