미분 방정식

미분 방정식, 하나 이상의 파생 상품, 즉 지속적으로 변화하는 수량의 변화율을 나타내는 용어를 포함하는 수학 설명. 변화를 겪고있는 시스템에 대해 직접 관찰하고 측정 할 수있는 것은 변화율이기 때문에 미분 방정식은 과학 및 공학뿐만 ​​아니라 다른 많은 정량 연구 분야에서도 매우 일반적입니다. 미분 방정식의 해는 일반적으로 하나 이상의 변수에 대한 하나의 변수의 기능적 의존성을 나타내는 방정식입니다. 일반적으로 원래 미분 방정식에없는 상수 항을 포함합니다. 이것을 말하는 또 다른 방법은 미분 방정식의 해가 적어도 특정 제약 내에서 원래 시스템의 거동을 예측하는 데 사용할 수있는 함수를 생성한다는 것입니다.

분석: 뉴턴 및 미분 방정식

분석의 적용은 다양한 양의 변화율을 현재 값과 관련시키는 미분 방정식입니다.

미분 방정식은 여러 가지 광범위한 범주로 분류되며 여러 하위 범주로 더 나뉩니다. 가장 중요한 범주는 일반 미분 방정식과 부분 미분 방정식입니다. 방정식에 포함 된 함수가 단일 변수에만 의존하는 경우 미분은 미분 미분이며 미분 방정식은 미분 미분 방정식으로 분류됩니다. 반면, 함수가 여러 독립 변수에 의존하여 미분이 부분 미분 인 경우 미분 방정식은 부분 미분 방정식으로 분류됩니다. 다음은 일반적인 미분 방정식의 예입니다.

여기에서 y는 함수를 나타내고 t 또는 x는 독립 변수입니다. k 및 m 기호는 특정 상수를 나타내는 데 사용됩니다.

유형이 무엇이든, 미분 방정식은 n 차 미분을 포함하지만 이보다 높은 차분 미분은 포함하지 않는 경우 n 차 오더라고합니다. 방정식은 2 차의 부분 미분 방정식의 예입니다. 일반 미분 방정식과 부분 미분 방정식의 이론은 현저히 다르므로이 두 가지 범주는 개별적으로 처리됩니다.

단일 미분 방정식 대신에 연구 대상은 그러한 방정식의 동시 시스템 일 수 있습니다. 역학 법칙의 공식화는 종종 그러한 시스템으로 이어집니다. 많은 경우에, n 차 차수의 단일 미분 방정식은 유리하게는 n 개의 차등 방정식 시스템으로 대체 될 수 있으며, 이들 각각은 첫 번째 차수이므로 선형 대수 기술을 적용 할 수있다.

예를 들어, 함수 및 독립 변수가 y로 표시되고 x가 x의 함수로 y의 필수 특성을 암시 적으로 요약하는 일반적인 미분 방정식입니다. y에 대한 명시 적 공식이 생성 될 수있는 경우 이러한 특성은 분석에보다 쉽게 ​​액세스 할 수 있습니다. 미분 방정식에서 도출 할 수있는 이러한 공식 또는 x와 y의 최소 방정식 (미분을 포함하지 않음)을 미분 방정식의해라 고합니다. 대수와 미적분의 응용에 의해 방정식에서 해를 구하는 과정을 방정식 풀기 또는 적분이라고합니다. 그러나 명시 적으로 풀 수있는 미분 방정식은 소수이지만 소수라는 점에 유의해야합니다. 따라서 대부분의 함수는 간접적 인 방법으로 연구해야합니다. 검사 용으로 생산할 가능성이없는 경우에도 그 존재가 입증되어야합니다. 실제로, 컴퓨터를 포함한 수치 분석 방법은 유용한 근사 솔루션을 얻기 위해 사용됩니다.