연속체 가설 수학

연속체 가설 (Continuum hypothesis), 실수 세트 (연속체)가 가능한 한 작다는 의미의 세트 이론의 진술. 1873 년에 독일의 수학자 Georg Cantor는 연속체가 셀 수 없다는 것을 증명했습니다. 즉, 실제 수는 계산 수보다 무한대입니다. 이론을 수학 주제로 시작한 주요 결과입니다. 또한 Cantor는 요소 수 또는 카디널리티에 따라 무한 세트의 크기를 분류하는 방법을 개발했습니다. (이론 설정: 카디널리티 및 무한 수를 참조하십시오.)이 용어에서 연속체 가설은 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 연속체의 카디널리티는 셀 수없는 가장 작은 카디널 번호입니다.

이론 설정: 카디널리티 및 무한 수

연속체 가설로 알려진 추측.

Cantor의 표기법에서 연속체 가설은 간단한 방정식 2 ^{ℵ ₀} = ℵ _1로 표현할 수 있습니다. 여기서 ℵ ₀ 은 무한한 셀 수있는 세트의 기본 수 (예: 자연수 세트)와 더 큰 " 잘 정리 된 세트”는 ℵ ₁, ℵ ₂,

, ℵ _α,

, 서수로 인덱싱됩니다. 연속체 카디널리티 2 동일하게 표시 할 수 ^{ℵ ₀}; 따라서 연속체 가설은 자연수와 연속체 사이에 중간 크기의 세트가 존재하지 않도록 배제합니다.

더 강한 설명은 일반 연속체 가설 (GCH)입니다. 각 서수 α에 대해 2 ^{ℵ _α} = ℵ _{α + 1} 입니다. 폴란드 수학자 Wacław Sierpiński는 GCH로 선택의 공리를 도출 할 수 있음을 증명했습니다.

선택의 공리와 마찬가지로, 오스트리아 출신의 미국 수학자 Kurt Gödel은 1939 년에 다른 표준 체르 멜로-프란켈 공리 (ZF;

표)가 일치하면 연속 가설이나 심지어 GCH를 반증하지 않습니다. 즉, 다른 공리에 GCH를 추가 한 결과는 일관성이 유지됩니다. 그런 다음 1963 년 미국 수학자 Paul Cohen은 ZF가 일관된 가정 하에서 ZF가 연속체 가설의 증거를 산출하지 않음을 다시 보여줌으로써 그림을 완성했습니다.

ZF는 연속체 가설을 입증하거나 반증하지 않기 때문에 비공식적 인 개념에 기초하여 연속체 가설을 수용 할 것인지에 대한 문제가 남아 있습니다. 수학적 공동체의 일반적인 대답은 부정적입니다. 연속체 가설은 한계를 부과 할 이유가없는 상황에서 제한적인 진술입니다. 세트 이론에서, 전력 설정 동작 은 카디널리티 2 ^{ℵ _α} 를 갖는 모든 서브 세트의 세트의 카디널리티 ℵ _α 각각에 카디널리티 ℵ _α를 할당한다. 무한 세트가 가질 수있는 다양한 서브 세트를 제한 할 이유가없는 것 같습니다.